Capítulo 1127: Novas Ideias sobre a Conjectura de Hodge
No começo do ano, antes de Lu Zhou contratar Chen Yang do centro de matemática da Universidade Yan, Chen Yang já havia começado a pesquisar a conjectura de Hodge.
Lu Zhou ainda se lembrava de ver Chen Yang pesquisando o método de análise de curva hiperelíptica em um quadro negro. Chen Yang usou uma ferramenta matemática muito inteligente para aprimorar esse método, originalmente projetado para resolver a hipótese de Riemann. Isso significava que o método de análise de curva hiperelíptica poderia ser aplicado a aglomerados algébricos complexos singulares, bem como a problemas geométricos definidos nos subaglomerados.
Isso causou uma boa impressão em Lu Zhou, o que o levou a contratá-lo do centro de matemática da Universidade Yan.
Quase um ano se passou desde então, e ainda não havia havido nenhum progresso significativo na conjectura de Hodge. Sem mencionar que Lu Zhou estava ocupado unificando álgebra e geometria; ele havia se esquecido completamente disso.
“Vamos, vamos conversar no meu escritório.”
Lu Zhou levou Chen Yang para seu escritório e pegou um quadro branco. Então ele deu a Chen Yang uma caneta marca-texto.
Sem perder tempo, Chen Yang ponderou por um segundo e desenhou um círculo no quadro branco. Ele o marcou como S e escreveu uma linha de expressões.
“Para uma superfície compacta e ilimitada S, a curvatura gaussiana K pode ser integrada por Lebesgue em toda a sua superfície.”
Chen Yang escreveu enquanto continuava falando.
“Todos sabemos que uma superfície pode conter mais de uma medida, então tentei mudar a métrica de medida de S. A curvatura gaussiana K correspondente também muda, mas o valor integral permanece o mesmo. A métrica de medida não tem nada a ver com a característica de Euler X(S) da superfície. Usando essa propriedade, podemos—”
Lu Zhou olhou para os cálculos no quadro branco e arqueou as sobrancelhas com interesse.
“Teorema de Gauss-Bonnet?”
Chen Yang parou de escrever e acenou com a cabeça.
“Correto.”
Ele escreveu o teorema de Gauss-Bonnet.
Quando Lu Zhou viu isso, ficou ainda mais intrigado.
Na verdade, ele já tinha uma ideia aproximada do que Chen Yang queria fazer.
De acordo com as propriedades das variedades de Riemann de alta dimensão M, a curvatura gaussiana poderia ser generalizada para uma curvatura seccional, enquanto seu valor poderia ser determinado pelo tensor da curvatura de Riemann. A função integral era uma fórmula algébrica complicada composta pelo tensor de curvatura e a integral de Gauss-Bonnet.
Quanto à sua integral sobre toda a variedade, isso era determinado pelo número característico de Euler X(M).
Usando essas propriedades, a teoria de Hodge poderia ser estendida a variedades não compactas.
Essas novas e profundas relações matemáticas foram descobertas pelo Professor Shiing Shen Chern, uma das aplicações famosas do teorema de Gauss-Bonnet.
Combinando isso com o método de cohomologia L2 de Sir Atiyah, essa conjectura poderia realmente ser resolvida.
Claro, seria necessária uma pesquisa mais aprofundada para encontrar uma prova completa.
Lu Zhou acenou com a cabeça satisfeito.
Não estava ruim.
Não estava ruim mesmo.
Sem que eles soubessem, uma multidão de pessoas se formou atrás de Chen Yang.
As pessoas no escritório começaram a observar atentamente desde que ele começou a escrever no quadro branco.
Li Mo olhou para as equações no quadro branco e disse: “Essa é a lendária…”
He Changwen olhou para o rapaz e franziu a testa. Ele disse: “A lendária o quê? Termine sua frase.”
Li Mo olhou para ele estranhamente.
“A conjectura de Hodge! Obviamente.”
He Changwen: “…”
Como isso é óbvio?!
Bem, eu acho que é meio óbvio.
He Changwen não pôde deixar de mentir para si mesmo.
Sim, com certeza, eu definitivamente teria reconhecido.
Chen Yang parou de escrever no quadro branco e começou a pensar.
Obviamente, ele estava apenas na metade do caminho. Ele ainda não havia pensado para onde ir a partir daí.
O Professor Perelman falou de repente.
“Este é um caminho bastante interessante.”
Chen Yang olhou para Perelman e perguntou: “Quando você chegou aqui?”
“Quando você estava quase na metade… Eu ia encontrar o Professor Lu.” Perelman fez uma pausa por um segundo e disse: “… Posso usar a caneta?”
Sem hesitar, Chen Yang entregou a caneta marca-texto.
Perelman pegou a caneta e contemplou por um tempo. Então ele começou a escrever algumas linhas de expressões.
“Como também existe uma teoria de geometria algébrica unificada, a prova da fórmula 3 é trivial.
“Minha sugestão para a parte posterior da prova é que podemos mapear a variedade compacta M para sua variedade coberta geral e obter uma variedade não compacta completa M.
“De acordo com o teorema de Atiyah, se pudermos provar que todos, exceto o grupo de homologia L2 do meio, são zero sob a condição de curvatura seccional…”
Ele rapidamente escreveu uma equação simples, mas bela.
As pupilas de Chen Yang se contraíram quando ele viu isso.
Ele teve um momento de compreensão enquanto falava com entusiasmo.
“É assim que podemos provar a conjectura de Hodge!”
Mas aqui estava o problema.
Como eles poderiam provar que, sob a curvatura seccional, o grupo de homologia L2 era zero?
A conversa parou abruptamente.
Após a excitação inicial, as duas pessoas ficaram em silêncio.
No final, eles olharam para Lu Zhou.
Lu Zhou percebeu que eles estavam olhando para ele. Ele piscou e falou com um sorriso.
“Acho que as ideias de vocês são muito boas… Embora eu não tenha pesquisado cuidadosamente essa área, minha intuição me diz que há 80% de chance de que esse caminho funcione.”
Ele fez uma pausa por um segundo e continuou: “Este caminho é muito interessante, por que vocês não pesquisam juntos?”
Eles pareciam entender o que Lu Zhou estava tentando dizer.
Perelman franziu a testa e falou.
“Você não vai participar? Este é um problema interessante.”
Na verdade, era mais do que interessante.
A conjectura de Hodge era uma combinação das três principais áreas da análise matemática, a saber, topologia, álgebra e geometria.
Como um Problema do Prêmio Millennium, não havia dúvida sobre sua dificuldade.
Para surpresa de Perelman, Lu Zhou não parecia interessado.
Lu Zhou: “Estou interessado, mas tenho alguns trabalhos a fazer no ILHCRC, então talvez não tenha tempo para pesquisar matemática.”
Perelman pareceu desapontado.
“Que pena.”
“Embora eu não possa trabalhar nisso sozinho, posso garantir o Professor Chen”, disse Lu Zhou enquanto batia no ombro de Chen Yang. Ele disse: “Ele é um excelente estudioso, tenho certeza de que você já sabe disso. De qualquer forma, se vocês dois trabalharem juntos, tenho certeza de que conseguirão resolver esse problema.”
Perelman discordou da afirmação de Lu Zhou sobre conseguir resolver o problema. Ele olhou para Chen Yang e não disse nada. Ele acenou com a cabeça, como um sinal de aprovação de Chen Yang como seu parceiro.
Esses dois eram pessoas taciturnas.
Lu Zhou limpou a garganta e falou com Perelman.
“Falando nisso, tudo bem você ficar aqui? A teoria unificada da álgebra e da geometria já foi concluída.”
“Sem problemas.” Perelman balançou a cabeça e disse: “Já liguei para minha mãe. Ela disse que eu deveria fazer o que quero fazer. Ela não se importa. Tenho alguns assuntos inacabados aqui… Quero resolver a conjectura de Hodge antes de voltar.”
Lu Zhou ficou surpreso que Perelman quisesse ficar. Ele obviamente não poderia estar mais feliz, então falou com um sorriso.
“Então você pode ficar no seu apartamento, vou solicitar uma extensão para você.”
Perelman acenou com a cabeça e falou.
“Obrigado.”